什么是算法
程序=数据结构+算法
算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法的特性
- 输入：一个算法有0个或多个输入，这些输入取自某个特定对象的集合。
- 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量。
- 有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
- 确定性：算法每一条指令必须有确切的含义，不会出现二义性。
- 可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。
算法设计的要求
- 正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
- 可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流
- 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
- 高效率与低存储量需求：设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。
算法效率的度量方法
事后统计方法
事后统计方法这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
事前分析估算方法
事前分析估算方法在计算机程序编制前，根据统计方法对算法进行估算。
函数的渐进增长
给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)
判断一个算法的效率时，函数中的常数和其它次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。
某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或越来越差于另一算法。
算法时间复杂度
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)时关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就时算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)时问题规模n的某个函数。
推导大O阶方法
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
常见的时间复杂度
| 执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| 12 | O(1) | 常数阶 |
| 2n+3 | O(n) | 线性阶 |
| 3n^2+2n+1 | O(n^2) | 平方阶 |
| 5log2^2+20 | O(logn) | 对数阶 |
| 2n+3nlog2^n+19 | O(nlogn) | nlogn阶 |
| 6n^3+2n^2+3n+4 | O(n^3) | 立方阶 |
| 2^n | O(2^n) | 指数阶 |
O(1)<O(log2n)<O(n)<O(nlog2n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
最坏情况与平均情况
最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。
算法空间复杂度
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记做：S(n) = O(f(n)),其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
参考资料：
